式の展開は2桁の数の筆算による掛け算の形式で計算すれば理解できる。

数学は誰でもできる簡単な計算方法である。つまり正確で論理展開が明確だから簡単に感じる方法である。その例として式の展開$(x+3y)(x+5y)$ を取り上げる。小学校で習った2桁の数の掛け算を筆算で行うと同じ考え方が使われていることがよりよく見える。 \begin{array}{rr} & 13 \hspace{0.5em}\\ \times) & 15 \hspace{0.5em}\\ \hline & 15 \\ & 30 \\ & 50 \\ & 100 \\ \hline & 195\\ \end{array} $x$は10の位の数を表す記号$ｙ$は1の位の数を表す記号、位の数を表す記号の積$x^2, y^2, xy$を新しい記号として同種の記号のついた数しか足し合わすことができないとすると結果は$100+80+15$となり式の展開と同じになる。 \begin{array}{rrrr} & x+3y \hspace{0.5em}\\ \times) & x+5y \hspace{0.5em}\\ \hline & +15y^2 \\ & +3xy \hspace{1.5em}\\ & +5xy \hspace{1.5em} \\ & +1x^2 \hspace{3em}\\ \hline & x^2+8xy+15y^2 \end{array} ここで現れる各項$x^2,xy,y^2$はそれぞれが独立なので互いに足し合わせることはできないことを再度確認しておく。

分数の足し算、引き算でまず通分するのは面倒だ、に答える。

分数が表わす値は「分母の数を掛けると分子の数」を覚えていると、 \[ \frac2 3 \times 3=2 \] 両辺に同じ数を掛けると \[ \frac {2} {3} \times 3 \times5 = 2 \times 5 \] 分数とは何かを考えると \[ \frac {2} {3} = \frac {2 \times5} {3 \times 5} \] これは分子分母に同じ数を掛けても分数の値は等しいことを示している。つまり \[ \frac2 3 + \frac4 5 = \frac {2 \times5} {3 \times 5} + \frac {4 \times3} {5 \times 3} \] このように、2つの分数の値を変えずに、分母の数を等しくする（つまり通分する）とあとは分子だけの足し算で良いから \[ \frac2 3 + \frac4 5 = \frac {2 \times5 + 4 \times3} {3 \times 5} = \frac {22} {15} \] 引き算も全く同じで \[ \frac2 3 - \frac4 9 = \frac {2 \times3 - 4} {3 \times 3} = \frac {2} {9} \] となる。

分数は分母の数を掛けると分子の数になる数を表現している。新しい表現を作り出し論理を理解しやすくするのが数学

ここでは分数の割り算はひっくり返して掛けるのはなぜかの説明で不足している点を取り上げる。割り算$2 \div 3$の結果を$ \frac2 3$と表して結果の値を強調するための記号が分数の横棒である。分数が表わす値は「分母の数を掛けると分子の数」になるという、計算手順を含んで表現したものである。$ \frac2 3 \times 3=2　$だ。なんともない横棒にこの表現を含ませてあるのだから小学生が面食らうのも当然だ。数学では$2\times2\times2$の結果を$2^3$などという小さな数字を肩に乗せて表現する。しかしこの場合は結果の値ではなく$1\times2\times2\times2$と「$2$を3回掛ける」計算方法を表していると見ている。そして$2^3=8$と計算して結果を表す。ただし指数が分数$2^\frac1 3$や小数$2^{0.7}$だと計算方法が思いつかないので初めて分数と同じ様に一つの値とみなすようになる。分数では「分母の数を掛けると分子の数」になると計算方法をあまり言わない。だから通分や、通分してから分数の加減算を行うこと。との説明が、なに面倒な計算をするという感想をもつようになるのだ。 数学では何か新しい記号や新しい表現方法、新しい用語が出てきたら何も考えず新しい計算方法を覚えるのではなく、できるだけ今まで知っている計算方法とどこが違うかを見つけて記号を文章に直して覚えた方がよい。